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Page sur les diagrammes de Bode

Le diagramme de Bode est un moyen de représenter le comportement fréquentiel d'un système. Il permet une résolution graphique simplifiée, en particulier pour l'étude des fonctions de transfert de systèmes analogiques. Il est utilisé pour les propriétés de marge de gain, marge de phase, gain continu, Bande passante, rejet des perturbations et stabilité des systèmes. Le diagramme de Bode doit son nom à Hendrik Wade Bode.
Définition
Le diagramme de Bode d'un système de réponse fréquentielle T (jω) est composé de deux tracés :
Détail
le gain en décibels (dB). Sa valeur est calculée à partir de 20 log10 (|T(jω)|)
la phase en degré, donnée par arg (T(jω))
L'échelle des pulsations est logarithmique et est exprimée en rad / s (radian par seconde). L'échelle logarithmique permet un tracé très lisible, car composé majoritairement de tronçons linéaires.

Diagramme de Bode du filtre passe-bas passif d'ordre 1. En pointillés rouges, l'approximation linéaire.
Tracé asymptotique des systèmes analogiques
Prenons une fonction de transfert quelconque qui s'écrit de la façon suivante :

où
Détail
Bien qu'une fonction de transfert puisse s'écrire de plusieurs façons, c'est de la façon décrite ci-dessus qu'il faut les écrire :
les termes constants des polynômes élémentaires du premier et du second degré doivent valoir 1.Pour cela utiliser la constante α.
Les termes en p des polynômes élémentaires du premier et du second degré doivent être au numérateur.
On remarque que le module de H(p) est égal à la somme des modules des termes élémentaires en raison du logarithme. Il en va de même pour la phase, cette fois en raison de la fonction argument. C'est pourquoi on va dans un premier temps s'intéresser aux diagrammes de Bode des termes élémentaires.
Systèmes du premier ordre
Passe-bas

Diagramme de Bode d'un filtre passe bas (système du 1er ordre)
Définition
Soit la fonction de transfert :

La pulsation ω0 est appelée pulsation de coupure.
Tracé asymptotique
pour

donc
et

Pour

donc
et
Dans un repère logarithmique, |HdB (jω)| se traduit par une pente de -20dB / décade ou encore -6dB / octave.On parle également de pente -1. Le diagramme de Bode asymptotique du module se résume donc à deux tronçons linéaires.
Tracé réel
en ω0

soit

la courbe passe 3dB en dessous de l'asymptote.
Passe-haut

Diagramme de Bode d'un filtre passe haut (système du 1er ordre)
Soit la fonction de transfert

Le tracé s'obtient en prenant l'opposé du module en dB et de la phase du passe-bas.
Systèmes du second ordre
Passe-Bas
Définition
Un système du second ordre de type passe bas est caractérisé par une fonction de transfert du type

H0 est le gain statique
La pulsation ω0 est appelée pulsation propre
et ξ est l'amortissement.
Tracé asymptotique et Courbe réelle
Dans cette partie on prend le gain statique H0 est égal à 1
Le tracé asymptotique dépend de la valeur de l'amortissement
On distingue trois cas
ξ › 1
Les pôles de la fonction de transfert sont réels et négatifs pour des raisons de stabilité et le système se décompose en un produit de deux fonctions de transfert du 1er ordre.Soit p1 et p2
Les pôles réels de la fonction de transfert :


Diagramme de bode d'un système d'ordre deux avec un amortissement égal à 5.5 et ω0 = 1
.Le système se décompose alors sous la forme d'un produit de systèmes du premier ordre.
ξ = 1
Les pôles sont réels, négatifs et égaux (pôle double). Si p0 est un pôle double de la fonction de transfert, on obtient :

Pour

donc

et

pour
donc

et
Dans un repère logarithmique, |HdB (jω)| se traduit par une pente de -40dB / décade ou encore -12dB / octave. On parle également de pente -2. Le diagramme de Bode asymptotique du module se résume donc à deux tronçons linéaires.ξ < 1
Le diagramme asymptotique est le même que dans le cas précédent
Le pôles de la fonction de transfert sont complexes et conjugués, à partie réelle négative
Lorsque ξ < √2 / 2, le système présente une résonance
Le maximum du module de la fonction de transfert est alors |H (jω)|max = 1 / 2ξ√(1 - ξ²)
en
ω0 √(1 - 2ξ²)
La pulsation ωR correspondant au maximum est donc toujours inférieure à ω0

Diagramme de bode d'un système d'ordre deux avec un amortissement égal à 0.8 et ω0 = 1

Diagramme de bode d'un système d'ordre deux avec un amortissement égal à 0.3 et ω0
Le système présente une surtension.
Passe-haut
H (p) = (p / ω0)² / 1 + (2ξ*(p / ω0)) + (p / ω0)²
Le tracé s'obtient en prenant l'opposé du module en dB et de la phase du passe-bas.
Retour au cas général
Comme nous l'avons fait remarquer plus haut, on pourrait additionner tous les diagrammes de Bode des termes élémentaires pour obtenir le diagramme de la fonction de transfert H (p).
Cependant, lorsque cette fonction de transfert est compliquée, il est plus facile de prendre en compte les contributions de chaque terme au fur et à mesure en faisant croître la pulsation ω.
Au début, lorsque ω → 0, l'asymptote du module est une droite de pente q (q*20dB / Décade) et la phase est constante à q * 90°. Par la suite, à chaque fois que l'on rencontre une pulsation, on modifie le tracé selon la procédure suivante :
Détail
Pour ω = ωk on rajoute +2 à la pente du module (+40dB/Décade) et 180° * signe (ωkξk à la phase.
Pour ω = ωl on rajoute +1 à la pente du module (+20dB/Décade) et 90° * signe (ωl) à la phase.
Pour ω = ωm on rajoute -2 à la pente du module (-40dB/Décade) et -180° * signe (ωmξm) à la phase.
Pour ω = ωn on rajoute -1 à la pente du module (-20dB/Décade) et -90° * signe (ωn) à la phase.
Tracé des systèmes numériques
Limitation du domaine des pulsations
Nous disposons cette fois d'une fonction de transfert G (z) = Z {g(n)} d'un système discret.
Pour obtenir son diagramme de Bode, il faut évaluer la fonction sur le cercle unité.
Autrement dit, z = e2πjv avec v ∈ [0;½] (on obtient le cercle complet par symétrie).
Si le système discret a été obtenu à partir de l'échantillonnage à la période T d'un système continu, alors z = ejωT avec ω ∈ [0;π / T]
De plus, les relations |G (z)| ∈ = e2πjv et arg (G(z)z = e2πjv) ne sont pas rationnelles en v.Par conséquence, l'étude du tracé est compliquée et nécessite des moyens informatiques.
Transformation bilinéaire
Détail
Cependant, il existe une application permettant de se ramener au cas continu :
z = (2 / T) + ω / (2/T) - ω
ou la fonction réciproque ω = 2 z - 1 / Tz + 1,Il s'agit d'une transformation de Möbius.
Cette transformation fait correspondre l'axe imaginaire ω = jΩ
du domaine continu avec le cercle unité z = ejwT
du domaine discret avec ω = 2 / T arctan (TΩ / 2)

Diagramme de Black

Le diagramme de Black est un graphe utilisé en automatique pour étudier un système. Il représente, dans un repère semi-logarithmique, le gain en décibels en fonction de la phase, selon une courbe paramétrée par la pulsation ou la fréquence. Ce diagramme combine en un les deux diagrammes de Bode.
Il est habituel de tracer dans le plan de Black l'abaque de Nichols, on parle alors de diagramme de Black-Nichols. Cette abaque permet de tracer le graphe de la fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) avec retour unitaire à partir du graphe de la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO). Ces deux fonctions de transfert vérifient en effet la relation :
FTBF (jω) = FTBO (jω) / 1 + FTBO (jω)
ou
FTBF (jω) et FTBO (jω) sont des nombres complexes dont le module représente le gain et l'argument représente la phase, en fonction de la pulsation ω.

Diagramme de Nyquist

Le diagramme de Nyquist est un graphe utilisé en automatique pour évaluer la stabilité d'un système en boucle fermée. Il représente, dans le plan complexe, la réponse harmonique du système en boucle ouverte correspondante. La phase est l'angle et le module la distance du point à l'origine. Tout comme le diagramme de Nichols, le diagramme de Nyquist combine les deux types de diagramme de Bode, module et phase, en un seul. Le diagramme de Nyquist doit son nom à Harry Nyquist.
Le diagramme de Nyquist est très utile pour l'étude de la stabilité EBSB des systèmes en boucle ouverte à rétroaction négative, grâce au théorème de Nyquist.
Le système est stable en boucle fermée avec retour unitaire en contre réaction sur l'entrée si le point critique (-1,0) est laissé à la gauche de la courbe tracée pour une pulsation variant de 0 à l'infini.
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