L'électricité statique est partout: dans les voitures, les maisons, les usines, la nature, Cette énergie se trouve dans toutes les proportions (de la simple étincelle en se peignant les cheveux, en passant par les décharges dans les machines industrielles, jusqu'à la foudre et ses dangers d'électrocutions et d'incendies). Toutefois, même en petite quantité l'électricité statique peut s'avérer dangereuse, surtout en présence de produits inflammables ou explosifs.

La théorie atomique de la matière est un des principes de bases liés aux phénomènes d'électricité statique. La nature d'un atome dépend des particules qui composent celui-ci. En effet, il y a trois différents types de particules : les neutrons et les protons qui forment le noyau de l'atome et les électrons comme un nuage autour du noyau.

L'ensemble des phénomènes de l'électricité statique s'explique notamment grâce aux charges électriques de ces particules. Il faut, donc, savoir que les protons portent une charge positive (+ 1, 6 .10-19 Coulomb) et les électrons une charge négative (- 1, 6 .10-19 C), tandis que les neutrons n'ont pas de charges. Les charges + et - sont normalement en quantités égales et la matière est, donc, électriquement neutre.

Mais, de part leur position en orbite de l'atome, les électrons sont les plus susceptibles de se transférer d'un atome à un autre, ce qui modifie la charge de la matière qui devient positive (si elle a perdu des électrons) ou négative (si elle en a reçus). Ainsi, on peut donc dire que le frottement d'un corps sur un autre fait apparaïtre des charges négatives sur l'un et des charges positives sur l'autre et une fois les corps séparés, ces charges restent telles quelles. L'électrisation résulte donc d'un contact, le frottement est une amplification qui permet de mettre en exergue le phénomène. Plus on fournit de l'énergie à un électron, plus il a tendance à s'éloigner du noyau et à s'en séparer.

En effet, lorsque deux objets sont chargés, une force s'applique entre les deux. Si les deux objets ont des charges de même signe la force sera répulsive et si les deux objets sont de signes opposés, la force sera attractive.Pour expérience, accrochez deux matériaux plastiques identiques à un même fil, frottez les sur de la laine et vous pourrez observer le phénomène de répulsion.

Il est également important de savoir que les charges électriques dépendent d'un support matériel qu'il soit solide, liquide ou gazeux. Il y a deux différents types de solides: les conducteurs et les isolants. Dans les isolants, les électrons sont fortement liés aux atomes et ils résistent mêmes sous de fortes actions extérieures. Il y a donc très peu de transferts d'électrons et de charges électriques.

Il y a différents types de décharges électrostatiques mais elles sont toutes engendrées par une accumulation excessive de charges électrostatiques.La décharge étincelle : Elle peut se produire, par exemple, entre un récipient métallique non relié à la terre qui a emmagasiné des charges lors d'un remplissage (par exemple) et qui est proche d'un conducteur relié à la terre. Voici un autre exemple qui explique ce phénomène : une personne isolée de la terre avec ses chaussures peut prendre une décharge en voulant toucher une poignée de porte qui, elle, est reliée à la terre.

Dans l'industrie, on peut donc s'attendre à ce qu'il y ait une étincelle à chaque fois que l'on est en présence d'éléments métalliques isolés. Le corps humain a une capacité par rapport à la terre qui varie entre 100 et 300 picofarads et l'énergie maximale libérable peut atteindre des dizaines de mJ ce qui peut causer des explosions en présence de gaz inflammable.

La décharge en aigrette : Ce type de décharge ressemble comme son nom l'indique à une aigrette et se produit en présence d'un isolant. Lorsque l'on approche un élément métallique relié à la terre d'une surface isolante chargée, il se produit une décharge électrique différente de la décharge étincelle, car elle se termine en filament et ressemble à une aigrette. Pour éviter ce type de décharge, il faut utiliser des additifs antistatiques.

La décharge de cône : Elle se produit, par exemple, lors de remplissage de grands conteneurs (silos...). Les produits, qui vont être déversés dans le silo, ont accumulé des charges électrostatiques durant leur transport vers le silo et lors du versement, les décharges se propagent le long des parois du silo vers le sommet du cône constitué par les produits versés.La décharge de type foudre : L'éclair est la manifestation lumineuse de la foudre (le tonnerre étant la manifestation sonore). L'éclair est hautement énergétique (des dizaines de milliers de mégawatts) et est engendré par l'apparition de masses nuageuses de charges opposées, séparées par des différences de potentiel de l'ordre de dizaines de millions de volts. Cette séparation des charges a lieu à l'intérieur d'un même nuage, on assistera alors à un éclair intranuage. Elle peut également avoir lieu d'un nuage à l'autre, car ils portent chacun une charge distincte. Ce sont des éclairs internuages.

Comme vous pouvez l'imaginer, ces décharges sont génantes voir même dangereuses que ce soit dans les foyers ou les industries et il y a de réels moyen de les diminuer. Pour diminuer l' électricité statique et les risques, notamment de décharges étincelles, on peut réaliser l'équipotentialité et la mise à la terre des conducteurs isolés mais également l'utilisation de chaussures permettant la dissipation des charges. Dans les zones à risques, il faut vérifier que le sol soit suffisamment conducteur pour cette même dissipation des charges.

L'électrostatique est la branche de la physique qui étudie les phénomènes créés par des charges électriques statiques pour l'observateur.

Depuis l'Antiquité il est connu que certains matériaux, dont l'ambre attirent des objets de petite taille après avoir été frottés.

L'électron, a donné son nom à de nombreux domaines scientifiques. L'électrostatique décrit notamment les forces qu'exercent les charges électriques entre elles : il s'agit de la loi de Coulomb. Cette loi énonce que la force F crée par une charge Q sur une autre charge q est proportionnelle au produit de ces deux charges et à l'inverse au carré de la distance les séparant.

Bien qu'elles semblent à notre échelle relativement faibles, les forces d'origine électrostatique entre un électron et un proton, par exemple dans un atome d'hydrogène, sont de 40 ordres de grandeurs supérieures aux forces de gravitation agissant entre eux.

Les domaines d'étude couverts par l'électrostatique sont nombreux : de l'électricité statique, à l'explosion des silos à grain en passant par certaines technologies de photocopieurs ou encore la foudre.

Les lois de l'électrostatique se sont avérées également utiles en biophysique dans l'étude des protéines. Ses extensions aux charges en mouvement sont étudiées dans le cadre de l'électromagnétisme qui elle-même est généralisée par l'électrodynamique quantique.

Il existe une expérience simple, que tout le monde peut faire, permettant de percevoir une force électrostatique : il suffit de frotter une règle en plastique avec un chiffon bien sec et de l'approcher de petits bouts de papier : c'est l'électrisation. Les papiers se collent à la règle. Les corps électrisés possèdent de l'électricité. L'expérience est simple à réaliser, cependant l'interprétation n'est pas simple puisque, si la règle est chargée par frottement, les bouts de papiers ne le sont a priori pas! Autre expérience du même style : un filet d'eau est dévié si on approche un film de cellophane.

Plus simplement, une expérience commune des effets de l'électrostatique est la sensation de recevoir une décharge en attrapant un chariot par temps très sec ou en descendant ou montant dans une voiture. Ce sont des phénomènes où il s'est produit une accumulation de charges, d'électricité statique.

à partir de là, on peut considérer deux catégories de corps : les isolants, ou diélectriques, où l'état d'électrisation se conserve localement et les conducteurs où cet état se répartit sur la surface du conducteur. L'électrisation des corps a pu être observée grâce aux propriétés isolantes de l'air sec, qui empêche l'écoulement vers la terre des charges créées par frottement.

La distinction entre isolants et conducteurs n'a rien d'absolu : la résistivité n'est jamais infinie (mais très grande), les charges électriques libres, pratiquement absentes dans les bons isolants, peuvent y être créées facilement en fournissant à un électron normalement lié à un édifice atomique une quantité d'énergie suffisante pour l'en dégager (par irradiation ou échauffement, par exemple). à une température de 3000°C, il n'y a plus d'isolants, mais seulement des conducteurs.

On constate aussi expérimentalement qu'il existe deux sortes de charges que l'on distingue par leurs signes et que la matière est constituée de particules de charges variées, toutes multiples de celle de l'électron, appelée charge élémentaire, cependant en électrostatique on se contentera de dire que lorsque un objet est chargé en volume, il contient une densité volumique de charge

De même une petite expérience permet de démontrer l'importance de l'électricité statique : il suffit de charger un peigne en plastique (en se peignant avec des cheveux secs) puis d'approcher le peigne chargé d'une lampe à tube à néon : dans l'obscurité, en approchant le peigne du tube, celui-ci s'allume localement. Le champ électrique produit par le peigne est suffisant pour exciter le gaz à l'intérieur du tube. D'où l'importance de l'électricité statique : si le champ électrique d'un simple peigne est suffisant pour exciter un gaz, la décharge d'électricité statique dans un appareil électronique sensible peut aussi le détruire.

L'équation fondamentale de l'électrostatique est la loi de Coulomb, qui décrit la force d'interaction entre deux charges ponctuelles.
Force de 1 sur 2 = - Force de 2 sur 1 :
F^→₁ (2) = q₂ * (q₁^→e_r) / 4πεr²₁₂ = q₂ * (q₁r^→₁₂) / 4πεr³₁₂ = -q₁ * (q₂r^→₂₁) / 4πεr³₂₁ = -F^→₂ (1)

Ici, la constante e est une constante caractéristique du milieu, appelée la permittivité. Dans le cas du vide, on la note e₀. La permittivité de l'air étant de 0, 5% supérieure à celle du vide, elle lui est donc souvent assimilée.

Cette écriture traduit le fait que deux charges de même signe se repoussent et que deux charges de signes contraires s'attirent proportionnellement au produit de leurs charges et inversement proportionnellement au carré de leur distance, les forces sont de valeurs égales et de sens opposés, conformément au principe de l'action et de la réaction.

Comme en gravitation, l'action à distance se fait par l'intermédiaire d'un champ : le champ électrique :

Produit par 1 en 2 :
E^→₁ (2) = (q₁r^→₁₂) / (4πε₀r³₁₂)
produit par 2 en 1 :
E^→₂ (1) = (q₂r^→₂₁) / (4πε₀r³₂₁)
Le champ créé en M par n charges q_i situées en des points ρ_i est additif (principe de superposition). Dans le cas d'une distribution de charges discrète :
E^→_T = E^→₁ + E^→₂ + E^→₃ + ... + E^→_n = E^→_T (M) = ∑ⁿ_i=1 * q_i / 4πε₀ * (ρ_i^→M) / (||ρ_i^→M||³)
Dans le cas d'une distribution de charges continue dans l'espace, le champ causé par un petit volume chargé vaut :
dE^→ (x_m, y_m, z_m) = ρ (x_i, y_i, z_i) / 4πε0 * (r^→_im) / (r³_im) * dx_idy_idz_i
et en intégrant sur tout l'espace où il y a des charges, on obtient:
E^→ (x_m, y_m, z_m) = ∫∫∫ ρ (x_i, y_i, z_i) / 4πε₀ * (r^→_im) / r³_im * dx_idy_idz_i
où est la densité volumique de charge en ρ_i, ^r→_imest le vecteur allant de ρ_iau point M. Dans l'élément de volume dx_idy_idz_iautour du point ρ_i il y a un élément de charge (x_i, y_i, z_i)dx_idy_idz_i. Les intégrales indiquent qu'il faut additionner, d'après le principe de superposition, sur tous les volumes contenant des charges.

Le potentiel électrique (dont les différences s'appellent tensions) est une notion courante et importante de l'électrostatique : c'est une fonction scalaire dans l'espace, dont le champ électrique est le gradient.
V (x_m, y_m, z_m) = ∫∫∫ ρ (x_i, y_i, z_i) / 4πε₀|r_im| * dx_idy_idz_i
V (x, y, z) = 1 / 4ρε₀ ∫∫∫ ρ (x_i, y_i, z_i) * dx_idy_idz_i / √ (x - x_i)² + (y -_i)² + (z - z_i)²
et en calculant les dérivées partielles
∂V / ∂x, ∂V / ∂y, ∂V / ∂z
E^→ (x, y, z) = 1 / 4πε₀ ∫∫∫ ρ (x_i, y_i, z_i) * (x - x_i) * e^→_x + (y - y_i) * e^→_y + (z - z_i) * e^→_z / [(x - x_i)² + (y - y_i)² + (z - z_i)²]³/₂ * dx_idy_idz_i
Toute l'électrostatique dans un milieu homogène est dans ces dernières formules, quoiqu'il faille remarquer que ces formules ne sont pas définies si le point de coordonnées (x_i, y_i, z_i) porte une charge ponctuelle, ce qui n'est d'ailleurs qu'une approximation non-physique (devrait y être infini).

On place la charge qui produit le potentiel en O et on regarde alors le potentiel produit en M et son gradient. Dans ce paragraphe, il est supposé que O et M ne sont pas confondus, sinon les formules n'auraient aucun sens.

O^→M = r^→ = re^→_r
Or, par définition des dérivées partielles:
dV = grad^→V * d^→OM = -E^→(M) * d^→OM
sachant que l'on peut démontrer que
r^→ / r³ = - grad^→ * 1 / r¹
on en déduit en multipliant par
q / 4πε₀
que :
E^→ (x, y, z) = q /4πε₀ * r^→ / r³ = - grad^→ * q / 4πε₀r = - grad^→V (r)
avec
V (r) = q / 4πε₀r
les champs en
r^→ / ||r^→||³ = 0
sont tels que leur divergence est nulle :
div * r^→ / ||r^→||³ = 0²

Le théorème de flux-divergence est un théorème d'analyse vectorielle, utilisable en électrostatique pour obtenir une équation locale du champ électrique.

théorème indique que :
[E_x (x + dx) - E_x (x)]dy dz + [E_y (y + dy) - E_y (y)] dz dx + [E_z (z + dz) - E_z(z)] dx dy= (∂E_x / ∂x + ∂E_y / ∂y + ∂E_z / ∂z) dx dy dz = divE^→ dv = ∑_i E^→_i * dS^→_i
ici dv = dx dy dz représente un volume élémentaire, que l'on peut considérer comme un parallélépipède et les dS_ireprésentent les contributions des six faces, chacune étant de longueur égale à sa surface et orientée perpendiculairement à la face, vers l'extérieur. Si l'on divise un grand volume v en volumes élémentaires et si l'on somme le champ électrique de tous ces volumes élémentaires, les contributions des faces situées à l'intérieur du volume se compensent exactement et il ne reste que la contribution de la surface extérieure :
∫∫∫_vdiv E^→ dv = ∫∫_sE^℮ * dS^℮
pour n'importe quel volume. En particulier, dans une sphère chargée en volume par une densité volumique de charge, ayant son centre en O et de rayon r suffisamment petit pour qu'on puisse négliger les variations de :
dS * r^8494; / r
est le vecteur normal à la surface dirigé vers l'extérieur et de longueur égale à l'élément de surface dS qu'il représente.
∫∫_s r^℮ / r³ * dS^℮ = ∫∫_s r^℮ / r³ = ∫∫_s e^℮_r * e^℮_r * dS / r² = ∫∫_s dS / r² = S / r² = 4πr² / r² = 4π
Ce qui signifie que le résultat ne dépend pas de r. Et si on multiplie par
ρv / 4πε₀
où v est le volume de la sphère, on obtient :
ρv / 4πε₀ ∫∫_s r^℮ / r³ * dS^8494; = ∫∫_s ρv / 4πε₀ * r^℮ / r³ * dS^℮ = ρv / 4πε₀ * 4π = q / ε₀
où q est la charge totale v de la sphère. Soit au final :
∫∫_s E^℮ * dS^8494; = q / ε₀ = ∫∫∫ div E^℮ dv = ∫∫∫ ρ / ε₀ dv
d'où le théorème de Gauss sous sa version locale :
et l'expression intégrée, connue par les physiciens sous le nom de théorème de Gauss :
∫∫∫_v div E^℮ dv = ∫∫∫_v ρ / ε₀ dv = ∫∫_s E^℮ * dS^℮

L'équation de Poisson combine les relations précédentes pour donner une relation locale entre la distribution de charge et le potentiel :
-div E^℮ = ∇^℮ * ∇^℮ V = ∇^℮² V = ΔV = -ρ / ε₀

On retrouve le fait que les influences des différentes charges s'ajoutent linéairement, c'est-à-dire que pour connaïtre la force exercée sur une charge par plusieurs autres charges, il suffit de calculer la force qu'exercerait chacune des charges prise isolément et d'additionner les résultats : on retrouve bien le principe de superposition, autre manière d'exprimer la linéarité de la loi de Coulomb.

La loi de Coulomb est très proche de l'expression des forces gravitationnelles, mais ces dernières sont (pour une particule donnée) beaucoup plus faibles. Pourtant, les forces électrostatiques ont peu d'effet à grande échelle, tandis que la gravitation explique le mouvement des astres.

Cela provient du fait qu'en moyenne, la matière contient autant de charges positives que de charges négatives et donc, au-delà de l'échelle des inhomogénéités, leurs influences se compensent. Pour la gravitation, au contraire, dont l'expression de la force a un signe opposé à celui de l'électrostatique, bien que les masses aient toutes le même signe positif, elles s'attirent toutes, au lieu de se repousser comme le font des charges électriques de même signe.

Les champs électriques peuvent rarement être calculés analytiquement par le calcul direct de la dernière formule mais peuvent toujours être calculés numériquement, surtout avec les progrès de l'informatique.

Lorsqu'il existe des symétries, on peut souvent faire le calcul en appliquant le théorème de Gauss au champ électrique :

Le flux du champ électrique à travers une surface fermée S est proportionnel à la somme des charges qui sont à l'intérieur de cette surface.
∫∫_s E^℮ * dS^℮ = Q / ε₀

supposons que l'on a l'axe des x chargé sur un segment AB avec une densité de charge linéique constante et, un point M(x_M, y_M) dans le plan xOy où l'on veut déterminer le champ produit par les charges réparties sur AB.

Considérons le point P(x, 0). Il est dans un intervalle dx de AB ayant une charge dx. Ces charges créent en M un champ. Posons PM = r :
E^℮ (M) = ∫_a^b dE^℮ (M) = λ / 4πε₀ ∫_a^b P^℮M / r³ dx = λ / 4πε₀ ∫_a^b {(x_M - x)i^℮ + y_Mj^℮ / r³} dx = {λ / 4πε₀ ∫_a^b (x_M - x) / r³} dxi^℮ + (λ / 4πε₀ ∫_a^b y_M / r³) dx j^℮
Il reste à faire les deux intégrales sur x pour obtenir les composantes de :
E^℮ (x_M, y_M) = E_x (x_M, y_M)i^℮ + E_y (x_M, y_M) j^℮En constatant que :
(x_M - x) / r = sinαet
yM / r = cosαon déduit :
(x_M - x) / y_M = tgα
où a est le complémentaire de l'angle BPM
λ / 4πε₀ ∫_a^b x_M - x / r³ dx = λ / 4πε₀ ∫_a^b (x_M - x) dx / r³ = - λ / 4πε₀y_M ∫_α1^α2 sin α dα
facile à intégrer
On a utilisé :
dx = -y_M / cos²α * dα
1 / r² = cos² α / y²_M
et
x_M - x / r = sin α

Pour une distribution de charge ayant une symétrie par rapport à un plan, il est facile de déduire que pour un point M du plan de symétrie, le champ résultant E(M) n'a de composantes que dans le plan de symétrie (la composante perpendiculaire au plan de symétrie s'annule : en regroupant les charges par paires symétriques en effet, on constate cette nullité).

Exemple: Si on a une distribution sphérique de charge de centre O, alors tout plan passant par O est un plan de symétrie : en conséquence, le champ résultant en M est dans tous les plans contenant OM et donc
E^℮ (r, θ, Φ) = E_r (r, θ, Φ)e^℮_r
puisque
E_θ(r, θ, f) = 0 et E_f(r, θ, f) = 0.

Plus généralement, si, pour une transformation euclidienne T, la distribution (T(M)) est identique à (M), le champ en T(M) sera le transformé par T de celui en M. On dit que la distribution est invariante par la transformation T.

C'est le cas, pour une distribution sphérique, par toute rotation autour du centre et on en déduit que le champ est purement radial et sa valeur mesurée le long du rayon ne dépend que de sa distance au centre. En coordonnées polaires :
E^℮ (r, θ, Φ) = E_r (r, θ, Φ) e^℮_r = E_r (r) e^℮_r

La production d'électricité statique peut être non souhaitée voire contraignante dans le cadre de productions industrielles car pouvant conduire au mauvais fonctionnement, à la détérioration d'équipements sur le long terme, ou, dans les cas à risque, par explosions. C'est dans ce but que sont développés des matériaux antistatiques.

La magnétostatique est l'étude du magnétisme dans les situations où le champ magnétique est indépendant du temps.

Plus spécifiquement, la magnétostatique s'attache à calculer les champs magnétiques lorsque les sources de ces champs sont connues. Il existe deux sources possibles pour les champs magnétiques :

Les relations fondamentales de la magnétostatique se déduisent des équations de Maxwell dans la matière en supprimant les dérivées par rapport au temps. Lorsqu'on supprime ces variations temporelles, les équations de l'électricité et du magnétisme se trouvent découplées, ce qui permet l'étude séparée de l'électrostatique et de la magnétostatique. Les relations fondamentales de la magnétostatique, écrites sous leur forme locale, sont :

où

Il faut noter l'ambiguïté de l'expression champ magnétique qui peut, suivant le contexte, désigner B ou H. Dans la suite de l'article, nous désignerons les champs explicitement par B ou H à chaque fois qu'il sera important de faire la distinction.

Aux relations ci-dessus, il faut ajouter celle qui relie B et H : B = µ₀ (H + M)

où

On voit que la distinction entre B et H n'est vraiment utile que dans les milieux aimantés (où M 0). L'aimantation étant supposée connue, la relation ci-dessus permet de calculer très simplement B en fonction de H et réciproquement. Par conséquent, à chaque fois qu'on voudra calculer un champ magnétique, on pourra choisir de calculer indifféremment B ou H, l'autre s'en déduisant immédiatement. Ces deux choix correspondent à deux approches des calculs magnétostatiques :

L'approche ampérienne s'attache au calcul de B. Elle est actuellement privilégiée dans l'enseignement car elle est proche de l'électromagnétisme dans le vide. Les équations à résoudre sont :
∇ * B = 0
∇ * B = µ₀ (j + ∇ * M)

On peut remarquer que le terme Δ×M dans la deuxième équation agit comme un courant supplémentaire, ce qui lui a valu d'être interprété comme une densité de courant microscopique (appelée courant lié) découlant du mouvement des électrons dans leurs orbites atomiques. Cette interprétation classique d'un phénomène quantique a cependant ses limites : si elle décrit assez bien le magnétisme découlant du moment cinétique orbital, elle ne rend pas bien compte de celui lié au spin des électrons.

En pratique, l'approche ampérienne est privilégiée dans les situations où il n'y a pas de matière aimantée et le champ est dû exclusivement au courant. Nous nous placerons par la suite dans ce cas où on a alors Δ×B = µ₀j. Pour retrouver le cas général (en présence de matière aimantée) il suffit de remplacer j par j + Δ×M.

Il arrive souvent qu'on ait affaire à des systèmes présentant des surfaces où l'aimantation est discontinue. Par exemple, si un aimant avec aimantation uniforme est plongé dans le vide, l'aimantation à la surface de l'aimant passe de façon discontinue d'une valeur finie (à l'intérieur) à zéro (à l'extérieur). Dans ce cas, la densité de courant lié Δ×M peut être infinie. Dans un tel cas on remplace à la surface la densité volumique de courant lié par une densité surfacique :
j_ms = (M₁ - M₂) * n₁₂

où M₁ et M₂ sont les aimantations de chaque côté de la surface de discontinuité et n₁₂ est le vecteur unitaire normal à cette surface, orienté de 1 vers 2. L'effet sur le champ de ce courant surfacique est d'induire une discontinuité de B :
ΔB = µ₀ΔM_|

où

Cette discontinuité n'affecte que la partie de B parallèle à la surface. La partie normale de B reste quant à elle continue.

Deux relations intéressantes peuvent être obtenues en appliquant le théorème de Stokes aux relations locales. La relation ΔB = 0 nous donne :
∫_s B * dS = 0

où l'intégrale, qui s'étend sur une surface fermée S, est le flux sortant de B. Il s'agit du théorème de flux-divergence. L'autre relation s'obtient en intégrant Δ×B= µ₀j sur une surface ouverte S :
∫_∂s B * dL = µ₀ ∫_s j * dS

où l'intégrale de gauche est la circulation de B sur le contour de S. Cette relation est connue sous le nom de théorème d'Ampère. Le membre de droite s'interprète simplement comme le courant traversant la surface.

Ces relations intégrales permettent souvent de calculer B simplement dans les situations de haute symétrie.

Soit à calculer le champ crée par un conducteur rectiligne infini. Des considérations de symétrie donnent l'orientation du champ : celui-ci tourne dans des plans perpendiculaires au fin conducteur. Son module peut être calculé en appliquant le théorème d'Ampère à la surface S délimitée par une ligne de champ de rayon a :
∫_∂s B * dL = 2παB = µ₀I
où I est le courant transporté par le fil. On en déduit le module de B:
B = µ₀I / 2πα
On voit que le champ décroït en proportion inverse de la distance au fil.

La divergence de B étant nulle, on peut faire dériver B d'un potentiel vecteur A :
B = ∇ * A
Pour assurer l'unicité de A, on le contraint en général à respecter la jauge de Coulomb :
∇ * A = 0

Moyennant quoi, A est solution de l'équation de Poisson :
∇² * A + µ₀j = 0

On peut montrer que A est donné par l'intégrale
A = µ₀ / 4π ∫ j / r dv
où l'intégrale s'étend à tout l'espace (ou du moins aux zones où jΔ0) et

De la même manière, B est donné par
B = µ₀ / 4π ∫ j * r / r³ dv

Où

Cette dernière relation est connue sous le nom de loi de Biot et Savart.

Dans le cas où il y a de la matière aimantée, il faut bien sûr tenir compte des courants liés en remplaçant j par j + Δ * M. En présence de courants liés de surface, il faut ajouter aux intégrales de volume des intégrales de surface qui se déduisent des précédentes par la substitution
∇ * Mdv → j_ms dS

Une situation rencontrée couramment est celle où le courant circule dans un circuit filiforme et où on néglige la section du fil. Dans ce cas, les intégrales volumiques pour A et B sont remplacées par des intégrales linéiques le long du fil moyennant la substitution
jdv → i dl

où I est le courant dans le fil et dl l'élément de longueur, orienté selon I.

Champs magnétiques B et H créés par un barreau uniformément aimanté. L'aimantation est en bleu. En haut : dans l'approche ampérienne, les courants liés Δ×M (en mauve) créent un champ B (en rouge) similaire au champ créé par une bobine. En bas : dans l'approche coulombienne, les charges magnétiques -Δ·M (c.-à-d. les pôles de l'aimant, en cyan) créent un champ H (en vert) similaire au champ électrique dans un condensateur plan. Les champs B et H sont identiques à l'extérieur de l'aimant mais diffèrent à l'intérieur.

Dans l'approche coulombienne on s'attache au calcul de H. Cette approche trouve ses racines dans les travaux de Coulomb sur les forces engendrées par les pôles des aimants. Elle est encore couramment employée par les magnéticiens. Il s'agit de résoudre les équations pour H :
∇ * H = ρ_m
∇ * H = j
où on a défini
ρ_m = -∇ * M

Par analogie avec l'électrostatique, Δ_m est appelé densité de charge magnétique. Il faut remarquer qu'à la différence des charges électriques, le charges magnétiques ne peuvent être isolées. Le théorème de flux-divergence montre en effet que la charge magnétique totale d'un échantillon de matière est nulle. Un aimant a donc toujours autant de charge positive (pôle nord) que négative (pôle sud).

En pratique, la charge magnétique se trouve souvent sous forme de charge surfacique localisée sur les surfaces de l'aimant. Cette charge surfacique découle des discontinuités de la composante de M normale à la surface, où ΔM est localement infini. Les surfaces ainsi chargées sont appelées pôles de l'aimant. La surface chargée positivement est le pôle nord, celle chargée négativement est le pôle sud. Sur ces surfaces, on remplace la densité volumique de charge par une densité surfacique :
σ_m = (M₁ - M₂) * n₁₂
Cette charge surfacique a pour effet d'induire une discontinuité de H :
ΔH = -ΔM_⊥

où ΔM_ι est la partie de ΔM qui est normale à la surface. Cette discontinuité n'affecte que la partie de H normale à la surface. La partie parallèle de H reste quant à elle continue.